ジニ係数を計算してみよう！

ジニ係数の計算

芳沢（2014）に、ジニ係数の計算が紹介されているので、より一般的な式に直して、ここにも書き残しておきます。以前、 note に書いた記事と同一内容です。 note では、一部の数式がちゃんと表示されていなかったのですが、ここではちゃんと見えるといいなあ。参考にしたのはこちらの書籍の第8章第2節「確率と統計」です。
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事例

社員が4人の架空企業の給与配分だと思ってみてください。Aさんが300万、Bさんが400万、Cさんが500万、Dさんが800万。折れ線グラフ縦軸は、給与の累積額を表していることに注意してください。

図（イ）で塗りつぶされた部分の面積の、三角形ODHに対する割合がジニ係数です。以下、データ点（図中のA～D）を $x_i (i=1,2,3,4)$ として、芳沢が示している計算式を再現します。

(1) 三角形ODHの面積

三角形の面積は、「底辺×高さ÷２」です。
底辺が $4$ 、高さが $x_1+x_2+x_3+x_4$ 、よって面積は $(x_1+x_2+x_3+x_4) \times 4 \times \frac 12$ です。

(2) 多角形OABCDHの面積

三角形1つと台形3つに分けて計算します。台形の面積は「（上底＋下底）×高さ÷２」でした。

三角形OAE： $x_1 \times 1 \times \frac 12$
台形AEFB： $\{x_1 + (x_1+x_2)\} \times 1 \times \frac 12$
台形BFGC： $\{(x_1+x_2) + (x_1+x_2+x_3)\} \times 1 \times \frac 12$
台形CGHD： $\{(x_1+x_2+x_3) + (x_1+x_2+x_3+x_4)\} \times 1 \times \frac 12$

合計すると、 $(7x_1+5x_2+3x_3+x_4)\times \frac12$ になります。このとき、 $x_i$ の係数が、奇数の列になっていることに注目しましょう。

(3) 塗りつぶされた部分（多角形OABCD）の面積

三角形ODHの面積(1)から、多角形OABCDHの面積(2)を引きます。
$\{(4x_1+4x_2+4x_3+4x_4)-(7x_1+5x_2+3x_3+x_4)\} \times \frac 12 = (3x_4+x_3-x_2-3x_1)\times \frac12$
$x_i$ の係数に注目しましょう。絶対値でみると左右対称です。 $x_i$ の添え字が大きい側がプラス、小さい側がマイナスです。例題では $x_i$ が4つですが、3つの場合、5つの場合など、試してみると、かならずこのような形になります。（奇数個の場合、たとえば $x_i$ が1～3のとき、 $x_2$ の係数は0になります。）

(4) ジニ係数

多角形OABCDの面積(3)が、三角形ODHの面積(1)の何％にあたるかを計算します。 $\times \frac12$ が両方にあるので約分できますから、
$(3x_4+x_3-x_2-3x_1) \div (4x_1+4x_2+4x_3+4x_4)$
これがジニ係数です。ここから先は、 $x_i$ に具体的に数値をあてはめないと計算できません。数値が大きくなりすぎるので、以下は $x_i = \{3,4,5,8\}$ で計算しましょう。

(5) 数値をあてはめて

$(3x_4+x_3-x_2-3x_1) \div (4x_1+4x_2+4x_3+4x_4) \\= (24+5-4-9) \div (12+16+20+32) = 0.2$
となりました。ジニ係数は、０～１の値をとり、資源が完全に平等に分配されているときに０、資源を誰かが完全に独り占めしているときに１になります。要するに、数値が大きいほど格差が大きく、小さいほど平等に近いわけですね。例題では0.2ですから、比較的平等に近い感じでしょうか。

一般化すると

(a) 多角形OABCDの面積

ところで、上記(3)で計算した多角形OABCDの面積は、データ同士の差の合計と一致することが知られています。次の式を見てください。（注： $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4$ のようにソートされているとします。）
$\begin{aligned} (D-C)&:x_4&-x_3\\ (D-B)&:x_4&&-x_2\\ (D-A)&:x_4&&&-x_1\\ (C-B)&:&x_3-&x_2\\ (C-A)&:&x_3&&-x_1\\ (B-A)&:&&x_2&-x_1 \end{aligned}$
これを縦に合計していくと、(3)で求めた $(3x_4+x_3-x_2-3x_1)\times \frac12$ のカッコ内と一致しますね。 $\times \frac12$ の部分は、割り算するときにいずれ消えるので、なくてもかまいません。
さらに、係数が添え字とnから計算できるので、次のように書き換えられます。
$\sum_{i=1}^n (2i-1-n) x_i$
ここで、 $n$ はデータサイズ、あるいは度数分布表の階級数です。

(b) 三角形ODHの面積

また、(1)で求めた三角形ODHの面積は、次のように変形できます。
$(x_1+x_2+x_3+x_4) \times 4 \times \frac 12 = \sum x_i \times n \times \frac12 \\ = (\bar x \times n ) \times n \times \frac12 = \bar x n^2 \times \frac12$
やはり $\times \frac12$ の部分は、割り算するときにいずれ消えるので消しておきます。よって、 $\bar x n^2$ として使います。

(c) ジニ係数

上記(4)でやったように、多角形OABCDの面積÷三角形ODHの面積ですから、
$g = \frac{\sum_{i=1}^n (2i-1-n) x_i}{ \bar x n^2}$
となります。

(d) 数値をあてはめて

$x_i = \{3,4,5,8\}, n=4$ で計算しましょう。平均値 $\bar x$ は5です。
$(-3\times 3 - 4 +5 + 3\times8 ) \div (5 \times 4^2) = 16 \div 80 = 0.2$
この式を使えば、データを並べ替えたうえでExcelでジニ係数を計算できますね。