シグマくんのはなし #17

平均を丸めたら：続きの続き

前回までの式変形を復習しましょう。分身の術を使って、この形までたどり着きました。
$\displaystyle v′=\frac1n \sum_{i=1}^n ((x_i − \bar x)^2)+ \frac1n \sum_{i=1}^n (−2(x_i−\bar x)e)+\frac1n \sum_{i=1}^n (e^2) \tag{5}$
では、3つのシグマくんを順にみていきましょう。まず3つ目から。

3つ目のシグマくんは「エヌがくれの術」

3つ目はこんな形をしていますね。
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n (e^2)$
シグマくんの中にある $e^2$ は、正しい平均値とのずれ（ $e$ ）を2乗したものですから、添え字 $i$ が変わってもいつも同じ値です。こういうときは「エヌがくれの術」が使えるのでした。したがって、
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n (e^2) = \frac1n \times n \times e^2 = e^2$
はい、簡単でしたね。

2つ目のシグマくんはまず「まとめ掛けの術」

2つ目はこんな形です。
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n (−2(x_i−\bar x)e)$
ごちゃごちゃしていますが、 $-2$ と $e$ は、あとからまとめて掛け算できる数です。「まとめ掛けの術」を使って、シグマくんの前に出してしまいましょう。したがって、
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n (−2(x_i−\bar x)e) = \frac{-2e}n \sum_{i=1}^n (x_i−\bar x)$
はい、ちょっといい感じになりましたね。ここで「あれ」が使えます。何かというと、「偏差の合計は０、偏差の平均も０」が使えます。最後にくっついている $\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)$ は０になるのです。そうすると、
$\displaystyle \frac{-2e}n \sum_{i=1}^n (x_i−\bar x) = \frac{-2e}n \times 0 = 0$
なんと。０になりました。消えました。
え？　ほんとに？　と思ってしまった方のために、数値の表を貼っておきます。よーくながめて、納得してください。

1つ目のシグマくんは…？

残ったのは1つ目のシグマくんです。この形、どこかで見た覚えがありますよね。余計なカッコを１組はずすと、
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n ((x_i − \bar x)^2) = \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i − \bar x)^2$
データから平均を引いて（つまり「偏差」を計算して）、それを2乗して、合計してｎで割る。そうです。これは「分散の定義式」ですね。正しい平均値を使って計算した正しい分散です。ですから、分散の記号 $s^2$ で置き換えてしまいましょう。

まとめると

では、ここまでを整理してみましょう。今回の冒頭に書いた式は、こんなふうに簡単になりました。
$\displaystyle \begin{aligned} v′ &=\frac1n \sum_{i=1}^n ((x_i − \bar x)^2)+ \frac1n \sum_{i=1}^n (−2(x_i−\bar x)e)+\frac1n \sum_{i=1}^n (e^2) \\ &= s^2 +0+ e^2 \\ &= s^2 + e^2\end{aligned} \tag{6}$
つまり、こういうことです。