シグマくんのはなし #16

平均値を丸めると：つづき

平均値を丸めると、その（丸められた平均を使って計算された）分散は、本来の（正しい平均値を使って計算された）分散よりも、少しだけ大きな値になるようだ。というのが、前回の実験でわかったことでした。その大きさはどれくらいなのか、本来の平均値からのずれを使って、計算できるものなのか。これが、解き明かしていきたい問題です。次の数式を展開していきます。
$\displaystyle v' = \frac1n \sum_{i=1}^n \{x_i- (\bar x + e)\}^2 \tag{1}$
ここで、 $e$ は、本来の平均値からのずれを表しています。また、 $v'$ は、「分散の近似値」の意味で使っています。では、展開していきましょう。

中カッコの中を展開する

カッコが二重になっていてうっとうしいので、カッコをひとつ外して、中の形を変えます。こういう変形で、よく用いられる技があります。それは、

知っている形が現れるようにする

です。たとえば、分散公式の展開のときに、 $\sum_{i=1}^n x_i = n \bar x$ という関係を用いて、2つ目のシグマくんを簡単な形に直しましたね（#13）。こういう「知っている形」が、現れないかなあ～と期待しながら変形するのです。
中カッコ部分だけ取り出して、整理していきます。
$\displaystyle \{x_i- (\bar x + e)\} = \{x_i - \bar x - e \} \tag{2}$
中にある小カッコをはずしました。カッコの前にマイナスがあったので、 $+e$ の部分が $-e$ に変わりましたね。カッコが１つしかないので、小カッコに戻せばいいのですが、ちょっと待ってください。
右側の式の、 $x_i - \bar x$ って、見たことある形ではありませんか？
データから（本来の）平均値を引いていますから、これは「偏差」です。そして、偏差の合計が0になる（平均も0になる）ことをすでに私たちは知っています。つまり、
$\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x) = 0$
です。ということは、 $x_i - \bar x$ という形を、ひとまとまりにして考えたほうが、式の変形が簡単になるのでは？　どこかで「偏差の合計は０だもんね！」という知識が使えるのでは？　と考えるのです。ということで、(2)の式を次のように変形してみましょう。
$\{x_i - \bar x - e \} = \{ (x_i - \bar x) - e \}$
こうしておいて、 $(x_i - \bar x)$ の部分は「ひとまとまり」と考えて展開していきます。ひとまとまりにする、とは、(3)の式が、あたかも $\{ (x_i - \bar x) - e \} = ( ■ - e )$
であるかのように扱うのです。（ $(x_i - \bar x)=■$ と置き換えていますから、いずれ元に戻しますけどね。）

中カッコを（小カッコはそのまま）展開する

では、小カッコの中をさわらないようにして、中カッコを展開していきましょう。まとまりにした部分がくずれないように、 $(x_i - \bar x)=■$ と置き換えたまま進めていきましょう。
$\displaystyle \begin{aligned} v' &= \frac1n \sum_{i=1}^n ( ■- e)^2 \\ &=\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n ( ■^2 -2■e + e^2) \end{aligned} \tag{4}$
どうでしょう？　分散の定義式を展開したときと、見た目がよく似ていると思いませんか？（#11を思い出してください！）
あとは何をすればいいかというと、

分身の術でシグマくんを３つに分ける
エヌがくれの術、まとめ掛けの術が使える場所を探して変形する
「データの合計は平均のｎ倍」「偏差の合計は０」などが使えないか考える

です。

分身の術

とりあえず、分身の術だけをやってしまいましょう。
$\displaystyle \begin{aligned} v' &=\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n ( ■^2 -2■e + e^2 ) \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \Big( ■^2 \Big)+\frac1n \sum_{i=1}^n \Big( -2■e \Big)+\frac1n \sum_{i=1}^n \Big( e^2 \Big) \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \Big( (x_i-\bar x)^2 \Big)+\frac1n \sum_{i=1}^n \Big( -2(x_i-\bar x)e \Big)+\frac1n \sum_{i=1}^n \Big( e^2 \Big) \end{aligned} \tag{5}$
シグマくんの守備範囲を明示するために、大きめのカッコでくくってあります（本来必要のないものです。）また、■を、本来の式である $(x_i - \bar x)$ に戻してあります。分身の術はここまでです。あとは、エヌがくれの術、まとめ掛けの術を1回ずつ、そして、「あれ」を使います。
続きは次回に。