シグマくんのはなし #13

分散公式を導く：つづきのつづき

前回までで、分散公式を展開し、3つのシグマくんに分身させ、さらに、3つ目のシグマくんを、エヌがくれの術で簡単にしました。今回は、残った2つ目のシグマくんを、簡単な形に変形していきます。2つめのシグマくんはこんなでした。

式の変形を進める前に、いったん復習タイムです。

式変形（分配法則）

分配法則（たぶん）という名前で式の変形を習ったことを覚えているでしょうか。こんなやつです。
$a(x+y) = ax + ay$
反対方向に変形するやつもありましたね。こんなやつ。
$bx+by+bz = b(x+y+z)$
今回使うのはこっちです。 $x$ にも $y$ にも $z$ にも、 $b$ という同じ数を掛けているときには、その数でくくって、カッコの外に出すことができますよ、ということでした。そうです、「まとめ掛けの術」で使ったやつです。
2つ目のシグマくんにはこの術が使えます。式がちょっと入り組んでいるので、順序を入れ替えて、見やすくしていきましょう。

左がもともとの式です。見ると、「-2」と「6」がどの式にもあります。この2つが、上の式変形復習での $a$ や $b$ にあたる数で、カッコの外に出せる数です。見やすくするために、順序を入れ替えたのが右です。
2つめのシグマくんがやろうとしていることは、この5つの（ｎ個の）式を合計することです。でも、赤と青で示した「 $-2\times 6$ 」は、全部同じなので、合計してから1回掛け算すればいいよね、というのが「まとめ掛けの術」でした。ということで、（b）はさらに次の（c）に変形できます。

数式だとこんな感じになっていますよ。（上の図では $\frac1n$ を省略していますのでご注意を！）
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n \Big( -2 x_i \bar x\Big) = \frac{-2 \bar x}n \sum_{i=1}^n x_i$
なんだ、結局シグマくん残っているんじゃないか・・・
と、思うのですが、あきらめるのはまだ早いのです。

式変形（平均ってなんだっけ）

またまた復習タイムです。平均ってなんでしたっけ？
いまさら何を？　という感じなんですが、思い出してください。こういう式で求めるのでした。
$\displaystyle 平均値 =\frac15 \times (1+4+7+8+10)=6$
一般的な数式で書くと、こうでした。
$\displaystyle \bar x= \frac1n \sum_{i=1}^n x_i$
この式の、両辺に（つまり、＝の左側にも右側にも） $n$ を掛けたら、こうなります。
$\displaystyle \begin{aligned} \bar x &= \frac1n \sum_{i=1}^n x_i \\ n \times \bar x &= n \times \frac1n \sum_{i=1}^n x_i \\ n \bar x &= \sum_{i=1}^n x_i \end{aligned}$
これは、平均値を $n$ 倍したものと、データの合計が等しい、という意味ですね。ということは、

$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i$ は、 $n \bar x$ と書き換えて良い

ということです。では、これを2つ目のシグマくん（c）に適用しましょう。

ついに変形が完成

「平均値を $n$ 倍したものとデータの合計は等しい」という書き換えワザを用いると、2つ目のシグマくんは、図の一番右のようになります。（注：数値の表では、 $n$ で割るという計算を書いていません。）

ほら、ずいぶん簡単になったでしょう。ここまでくれば、あとは簡単。 $n$ を約分しましょう。 $\bar x$ が2つ掛け算してあるので、 $\bar x^2$ に書き換えましょう。数式でまとめると、
$\displaystyle \frac1n \sum_{i=1}^n \Big(-2 x_i \bar x\Big) = \frac{-2 \bar x}n \sum_{i=1}^n x_i = \frac{-2 \bar x n \bar x}{n} = -2 \bar x^2$
となりました。