今回から、3回くらいに分けて、以前の記事に書いた、
では、平均値として、偽の値を用いた時は、偏差の総和はどのようになるでしょう。
という問題を解決していきたいと思います。
偽の値を用いるって？
上述の記事で、次のような図を用いました。
赤い破線のところで平らに均したいのですが、この図では、その線がやや下過ぎて、負の偏差の合計（水色）よりも正の偏差の合計（ピンク）のほうが多くなってしまい、平らになりません。
この「赤い破線」の位置（Y座標）が、「偽の値」の一例です。
「赤い破線」を、ちょうどデータの平均値においたとき、負の偏差の合計と正の偏差の合計が、（絶対値として）同じになり、偏差の総和が０になるのでした。
ただし上の図では、「赤い破線」の位置が平均値よりも小さいために、正の偏差の合計が大きすぎ、結果として偏差の総和は正の値になると思われます。これを、きちんと計算して、その結果を可視化してみよう、というわけです。
Excelで計算しよう
では、Excelに仮想データを作って検証しましょう。数値が小さくて、できれば、やたらに小数が出てこないほうがとっつきやすいので、次のデータを使います。データが、偏差が
です。偏差は平均値からの偏差を計算しているので、総和は０になります。
ためしに、平均が６であると嘘をついてみましょう。次のようになります。
偏差の計算はですから、平均が１大きくなれば、偏差の値はそれぞれ１ずつ大きくなるはずですね。その通りになっていることを確かめましょう。データが5つあって、それぞれの偏差が１ずつ大きくなりますから、総和は５だけ大きくなります。では、平均が７でも６でもなく５であると嘘をついたら、と考えると、おおむね予想はつきますね。
一覧表にしてみよう
上述のような計算の結果を一覧表にしたのがこれです。左列のｍが偽の平均値、sum dが（偽の平均値からの）偏差の総和です。
右端の「変化量」は、偽の平均値が１大きくなるごとに、偏差の総和がどれだけ変化したかを計算しています。
偽の平均値を１大きく（小さく）すると、偏差の総和は５だけ小さく（大きく）なることがわかります。偏差の総和は、偽の平均値の一次関数（偽の平均値の変化に伴って直線的に変化する）なんですね。
グラフにしてみよう
こうなります。
だから何なの？
どんなデータであれ、平均値からの偏差の総和は常に０になります。つまり、偏差の総和は、データの特徴を何も表すことができないのです。
もちろん、「この観測値は偏差（の絶対値）が大きい」「この観測値は偏差（の絶対値）が小さい」という、データごとの情報はわかります。他の観測値と比較して、偏差（の絶対値）が非常に大きい時は、その値を外れ値として扱う必要があります。ですから、観測値ごとの偏差は、それはそれで重要なのです。
しかし、記述統計の目的は、データの特徴を数値的に要約することです。平均値のように、データの特徴を１つの値にしたいのです。「偏差の総和は常に０だよ。平均値じゃなくて、別の値を使えば、どれだけでも大きく（小さく）なるよ。」では困るのです。
「偏差は正の値と負の値があるのだから、なんとか工夫して、符号を揃えればよいのです」みたいな話のつなぎ方をしている教科書もあるかもしれません。なんだその理屈？ とも思うのですが、とりあえずそれにのっかって、「じゃあ、絶対値にしたらどうなん？ ぜんぶ正の値になるから、総和が０になることはないぞ」という考えを、次回は検証しましょう。
